Aspects algébrique, combinatoire et analytique des probabilités libres

La liberté, dans sa acception probabiliste, est une forme d’indépendance adaptée à des variables aléatoires non commutatives. Elle a été introduite par D. V. Voiculescu dans le but de résoudre le problème de Kadison sur l’isomorphisme entre les facteurs de von Neumann du groupe libre. La théorie des probabilités libres qui en est issue présente beaucoup d’analogies avec les probabilités classiques tout en ayant des outils et des champs d’application distincts. La première semaine sera consacrée à deux approches fondamentales : la combinatoire des partitions non-croisées qui permet de caractériser la liberté et de décrire, par exemple, la convolution libre ou les lois infiniment divisibles libres ; les matrices aléatoires dont l’asymptotique en grande dimension fournit des modèles importants d’opérateurs libres. Les relations avec d’autres grands domaines des mathématiques seront présentées lors de la seconde semaine : les intégrales sur les groupes compacts classiques, les espaces d’opérateurs et les représentations des groupes symétriques.