Ce cours est une introduction aux concepts mathématiques fondamentaux qui sous-tendent le traitement moderne des données, la théorie du codage et la cryptographie. En mettant l'accent à la fois sur la compréhension théorique et la pertinence pratique, les étudiant·es exploreront les idées clés de la théorie des nombres, de l'algèbre et des mathématiques discrètes telles qu'elles s'appliquent à la représentation des données, aux codes correcteurs d'erreurs et à la communication sécurisée.

Le CEMRACS est une école d'été internationale de 6 semaines organisée presque chaque été depuis 1996 au CIRM (Centre International de Rencontres Mathématiques) sur le campus de Luminy près des célèbres calanques de Marseille. En 2025, l'événement sera dédié à l'informatique quantique avec un accent particulier sur deux domaines scientifiques profondément impactés par les ordinateurs quantiques avec d'importantes répercussions sociales : le calcul scientifique et la cryptographie.

La compréhension des mathématiques se construit de multiples façons. Parmi celles-ci, l'illustration accompagne la recherche et en est l'outil depuis qu'elle existe. Nous utilisons le terme « illustration » pour englober les nombreuses façons de donner une forme physique ou une expérience à une idée mathématique, y compris la visualisation par ordinateur, l'impression en 3D et la réalité virtuelle, entre autres.

The notion of duality in physics has a rich history, going back at least as far as the observation that Maxwell’s theory of elctromagnetism is symmetric after swapping electric and magnetic fields. More generally, dualities in physics can provide a way of relating two seemingly very different physical theories via a nontrivial duality transformation. For instance, S-duality in physics provides a way to swap strongly coupled physical theories for weakly coupled ones [MO77], for which we may use perturbative methods to exactly solve the equations governing the system.

New trends and applications around generalized Fokker-Planck operators This 4-weeks scientific program will be oriented around four related topics: 1. Witten and Bismut deformations of Hodge theory on Riemannian manifolds; 2. Persistent homology and Witten Laplacians; 3. Hypoellipticity and polynomes of vector fields; 4. Applications to molecular dynamics algorithms.

The aim of this programme is to break new ground in the arithmetic theory of K3 surfaces and closely related varieties (e.g., Enriques and elliptic surfaces; hyper-Kähler varieties), capitalising on a web of recent advances and conjectural frameworks. Progress on the arithmetic of K3 surfaces will likely have important consequences for more general questions about Shimura varieties, abelian and hyper-Kähler varieties, their rational and algebraic points. The programme consists of 5 weeks of research collaborations (working groups, research seminars) capped off by a one week workshop.

L'étude des sous-groupes discrets des groupes de Lie semi-simples est un domaine qui a une longue histoire et qui est en même temps un sujet de recherche très actif. Elle est au cœur de plusieurs domaines, allant de la géométrie différentielle à la théorie des nombres et, depuis la percée de Margulis dans les années 70, elle est intimement liée aux systèmes dynamiques.

Alors que les développements ultérieurs prennent en compte les phénomènes de rigidité, notre programme se concentrera sur les aspects géométriques des groupes discrets flexibles.

This term focuses on rigidity of group actions with some focus on issues that arise out of Zimmer's groundbreaking work in the 1980's. Areas of interest range from local and global rigidity of group actions to special rigidity phenomena in small dimensions to symmetry groups of geometric structures to measure rigidity results for quite general group actions with hyperbolicity. This broad area has seen a very large number of dramatic breakthroughs in recent years.

The theoretical study of quantum many-body systems is a challenging task due to the amazing complexity induced by the huge number of degrees of freedom of these systems. Equilibrium properties of such systems have been deeply studied in the last decades. In particular, at one-dimension, it is possible for some systems to have access to exact solutions, for instance, within Bethe Ansatz methods. Where exact solutions are not accessible, it is possible to use field theoretical approaches or numerical techniques.