Atelier collaboratif en géométrie, algèbre, théorie des nombres et applications

Speaker : Agnès DAVID (Université de Rennes,France)

Cours de 10 H donné par Agnès David. L’objectif de ce cours est la découverte par l’auditoire des nombres p-adiques. Il débutera par leurs constructions analytique (complété des rationnels pour la norme p-adique) comme algébrique (limite projective de congruences modulo les puissances de p). On abordera ensuite leurs propriétés arithmétiques (anneaux des entiers, idéaux et quotients, corps résiduel...), topologiques, géométriques et analytiques, en examinant les similitudes et différences avec les nombres réels et complexes. L’incontournable parallèle avec les anneaux de séries formelles à coefficients dans un corps fini donnera l’occasion d’une incursion dans le monde des corps globaux (théorème d’Ostrowski de classification des valeurs absolues). Des applications arithmétiques seront abordées, comme le théorème de Hasse-Minkowski et plus généralement le principe local-global. Des séances d’exercices pourront jalonner le cours, permettant aux participant·e·s de manipuler et s’approprier les notions introduites. Si le temps le permet, on considérera les versions p-adiques de problèmes réels ou complexes (plus ou moins ouverts) : problème de Kakeya, théorème de Gauss-Lucas et conjecture de Sendov, zéros de polynômes aléatoires...

Speaker : Cordian RIENER (UiT The Arctic University of Norway,Norway)

Proposé par Cordian Riener et Daouda Niang Diatta. Real algebraic geometry provides powerful tools for studying solution sets of polynomial equations and inequalities. In recent years, computational advances have made it possible to explore complex structures such as computing the topological invariants (e.g., Betti numbers) of semi-algebraic sets and apply these methods in optimization, data analysis, and engineering. The project will introduce participants to modern computational tools in real algebraic geometry for topological computations such as Betti numbers, Euler–Poincaré characteristic, and persistent homology for semi-algebraic sets. The activities will include concrete problems such as: - Computing real solutions of small polynomial systems using computer algebra systems - Exploring the topology of parameterized families of real varieties. The aim is to combine theory, computation, and experimentation. No prior specialization in real algebraic geometry is assumed; basic linear algebra, calculus, and algebraic background will be sufficient. S. Basu, Algorithmic Semi-algebraic Geometry and Topology -- Recent Progress and Open Problems , Surveys on Discrete and Computational Geometry: Twenty Years Later, Eds. J.E. Goodman, J. Pach, R. Pollack. Contemporary Mathematics, Volume: 453. American Mathematical Society (2008) S. Basu, Computing the top few Betti numbers of semi-algebraic sets defined by quadratic inequalities in polynomial time, Found. Comput. Math. 8 (1) (2008) 45–80. S; Basu, D. V. Pasechnik, M.-F. Roy, Computing the Betti numbers of semi-algebraic sets defined by partly quadratic systems of polynomials S. Basu, R. Pollack, M.-F. Roy, Algorithms in real algebraic geometry, revised and completed version of 2nd edition, (2016) S. Basu, C. Riener, Vandermonde varieties, mirrored spaces, and the cohomology of symmetric semi-algebraic sets . Found Comput Math . Electronically published on Aug 2, (2021) P. Bürgisser, F. Cucker, P. Lairez, Computing the homology of basic semialgebraic sets in weak exponential time. Journal of the ACM P. Bürgisser, F. Cucker, J. Tonelli-Cueto, Computing the Homology of Semialgebraic Sets. I: The Lax Case.

Speaker : Erwan BRUGALLE (Université de Nantes,France),Winnie OSSETE (Université Marian Ngouabi,Congo - Brazzaville)

Proposé par Erwan Brugalle et Winnie Ossete. La courbe algébrique $C$ définie par un polynôme $P$ est l'ensemble des solutions $(x,y)$ de l'équation $P(x,y)=0$. Il existe aussi une notion de \emph{polynôme tropical}, où les additions et multiplications classiques sur $\mathbb R$ sont remplacées par l'addition $"+"$ et la multiplication $"\times"$ tropicales définies par \[ "x+y"=\max(x,y) \qquad\mbox{et}\qquad "x\times y"=x+y. \] À un polynôme tropical en deux variables est aussi associé un objet géométrique, appelé \emph{courbe tropicale}. Beaucoup plus manipulables que les courbes algébriques classiques, les courbes tropicales partagent néanmoins avec elles de nombreuses propriétés numériques. Citons par exemple le théorème de Bézout: une courbe tropicales de degré $d_1$ intersecte une courbe tropicale de degré $d_2$ en $d_1d_2$ points. La géométrie énumérative constitue un autre domaine où géométries classique et tropicale entretiennent de frappantes similitudes. Par exemple, il existe une unique droite tropicale passant par deux points distincts, il existe une unique conique tropicale passant par 5 points en position générique, ... Même pour des problèmes énumératifs plus compliqués (ie combien de cubiques nodales passent par 8 points?), un théorème de Mikhalkin stipule que l'énumération de courbes tropicales coïncide avec les comptes correspondant en géométrie classique. Il devient cependant nécessaire de compter les courbes tropicales avec une certaine \emph{multiplicité}, qui est un nombre entier. De plus, Mikhalkin a montré que chaque courbe tropicale admet au moins deux multiplicités, une réelle et une complexe, selon que l'on souhaite compter des courbes algébriques définies sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$. Par des considérations venant d'autres domaines des mathématiques, voire de la physique, deux groupes de personnes ont proposé d'associer à une courbe tropicale une multiplicité interpolant ses deux multiplicités réelles et complexes. Il ne s'agit alors plus d'une multiplicité numérique, mais d'un objet un peu plus sophistiqué. Block-Göttsche ont proposé une multiplicité polynomiale, alors que Jaramillo Puentes-Markwig-Pauli-Rörhle ont proposé une forme quadratique comme multiplicité. De manière spectaculaire, et pour des raisons encore mal comprises, l'énumération des courbes tropicales avec ces multiplicités polynomiales ou quadratiques fournissent des invariants, c'est à dire qu'ils ne dépendent pas des points par lesquels ont fait passer les courbes tropicales énumérées. Cet atelier collaboratif aura pour point de départ les deux problèmes suivants. \begin{enumerate} \item Peut-on associer d'autres multiplicités à une courbe tropicale qui aboutiraient à un nouvel invariant? \item Établir des liens entre ces différent invariants. \end{enumerate}

Speaker : Cordian RIENER (UiT The Arctic University of Norway,Norway),Erwan BRUGALLE (Université de Nantes,France),Aram DIAW (Université Cheikh Anta Diop de Dakar,Senegal),Tony EZOME (École Normale Supérieure,Gabon),Florian LUCA (Stellenbosch Unive...

chacun des six groupes fera trois sessions devant l'ensemble des participantes et participants à l'Atelier collaboratif. 1/2 h presentation 1 H résultats intermédiaires 1H résultats finaux

Speaker : Tony EZOME (École Normale Supérieure,Gabon),Christian MAIRE (Université de Franche-Comté,France)

Proposé par Tony Ezome et Christian Maire. Actually, class field theory aims to describe all abelian Galois extensions of local and global fields. Given a number field $F$, and denoting its Hilbert class field by $K$ ($i.e.$, its maximal abelian unramified extension), it is known that the Galois group of $K/F$ is canonically isomorphic to the ideal class group of $F$. To obtain abelian extensions with ramification, one must consider ray class groups. In the context of function fields, for an analogous situation, decomposition must also to be taken into account. The goal of this working group will be to provide an introduction to the basics of class field theory for global fields, with an emphasis on the case of fields of small degree. For applications, we will focus on the search for number fields with small discriminants, and on curves over finite fields with many rational points. \noindent {\bf Bibliography} [1] S. Lang, Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics (GTM, volume 110), Springer New York, NY, 1994. \medskip [2] J. Martinet, Petits discriminants, Annales de l’Institut Fourier, tome 29, no 1 (1979), p. 159-170. https://eudml.org/doc/74392 \medskip [3] J.-P. Serre, Rational points on curves over finite fields, Documents Mathématiques, SMF, 2020. \medskip [4] H. Stichtenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Graduate Texts in Mathematics (GTM, volume 254), Springer Berlin, Heidelberg, 2008.

Speaker : Delphine BOUCHER (Université de Rennes,France),Epiphane NOUETOWA (Université de Limoges

Proposé par Delphine Boucher et Epiphane Nouetowa. Un code linéaire de longueur n et de dimension k défini sur un corps fini F est un sous-espace de dimension k de F^n. Les codes cycliques sur F forment une classe de codes linéaires qui sont invariants par décalage cyclique des coordonnées. Cette condition de cyclicité permet de décrire un code cyclique comme un idéal de F[X]/(X^n-1). Un code linéaire autodual est un code qui est égal à son orthogonal (encore appelé dual) par rapport au produit scalaire Euclidien. L'intérêt pour les codes autoduaux réside notamment dans leurs liens étroits avec la combinatoire. Les codes contenant leur dual trouvent également des applications à la construction de codes quantiques. En 1983, N. J. A. Sloane et J. G. Thompson ([1]) ont étudié la construction et l'énumération des codes binaires cycliques autoduaux d'une longueur donnée n. Ces codes sont déterminés par une équation polynomiale dont les solutions peuvent être décrites grâce à certaines propriétés de factorisation de X^n+1 dans Z/2Z[X]. Le premier objectif de cet atelier est de comprendre cette construction et ses généralisations à d'autres corps finis. Considérons désormais un automorphisme theta de F, les codes theta-cycliques (également appelés codes cycliques tordus) de longueur n sont tels qu'un décalage cyclique des coordonnées de chaque mot de code donne un autre mot qui appartient au code après application de theta à chacune de ses n coordonnées ([2]). Si theta est l'identité, les codes theta-cycliques sont des codes cycliques. Les codes cycliques tordus ont une interprétation dans l'anneau d'Ore (ou anneau des polynômes tordus) où la multiplication est définie par la règle "X a = theta(a) X" pour a dans F. Tout comme les codes cycliques autoduaux, les codes theta-cycliques autoduaux sont caractérisés par une équation dans l'anneau d'Ore. Le deuxième objectif de cet atelier est d'étudier la construction de codes theta-cycliques autoduaux. On pourra également discuter de développements récents ou de travaux en cours sur le sujet ([3], [4]). [1] Cyclic self-dual codes, N. J. A. Sloane and J. G. Thompson, IEEE Trans. Inform. Theory, 29, 364--366 ,1983. [2] Skew-cyclic codes, D. Boucher, W. Geiselmann and F. Ulmer, Appl. Algebra Engin. Commun. Comp., 18 379--389, 2007. [3] Construction and number of self-dual skew codes over Fp2, Delphine Boucher, Adv. Math. Commun., 10(4) :765–795, 2016. [4] Codes tordus, dualité et décodage: application à la cryptographie, Kayodé Epiphane Nouetowa, Thèse de l'université de Rennes, juillet 2025.

Speaker : Frank LORAY (Université de Rennes 1,France),Aram DIAW (Université Cheikh Anta Diop de Dakar,Senegal)

Proposé par Frank Loray et Arame Diaw. Les feuilletages ont été introduits à la fin du 19ème siècle, notamment dans les travaux de Painlevé et Poincaré, pour étudier de manière qualitative les solutions des équations différentielles dans le domaine complexe. Par exemple le type de singularités qu'elles peuvent avoir, leur prolongement analytique, ou encore l'intégrabilité par fonctions spéciales. Dans cet atelier, nous proposons de travailler sur l'étude des solutions particulières des équations différentielles de Riccati $$f'=a(x)f^2+b(x)f+c(x)$$ où $a,b,c\in\mathbb C(x)$ sont des fonctions rationnelles, et $f(x)$ l'inconnue ; de manière équivalente, on peut considérer une équation différentielle linéaire du second ordre $$f''+\alpha(x)f'+\beta(x)f=0$$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb C(x)$. Nous chercherons à déterminer les solutions rationnelles, algébriques ou encore Liouvilliennes lorsqu'il y en a. Ceci sera prétexte à apprendre à utiliser les différents outils tels que la notion de feuilletage, de singularité, de prolongement analytique, de monodromie, de groupe de Galois différentiel, des sous-groupe de Lie de $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$... Le but est d'établir l'algorithme de Kovacic (1986) qui permet de déterminer le groupe de Galois d'une équation de Riccati, et par suite les solutions particulières. Nous pourrons tester cet algorithme sur des équations classiques telles que l'équation hypergéométrique de Gauss, ou encore l'équation de Lamé. On pourra discuter de développements récents (solutions algébriques de l'équation de Painlevé) ou en cours (solutions algébriques des équations de Heun confluentes). A. Duval, M. Loday-Richaud : Kovacic's algorithm and its application to some families of special functions. AAECC {\bf 3} (1992) 211-246. R. C. Churchill :Two generator subgroups of SL(2,C) and the hypergeometric, Riemann, and Lamé equations. J. Symb. Comput. {\bf 28} (1999) 521-545. H. P. de Saint-Gervais : Uniformisation des surfaces de Riemann. Retour sur un théorème centenaire. Lyon: ENS Éditions (ISBN 978-2-84788-233-9/pbk). 544 p. (2010). F. Loray : Pseudo-groupe d’une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Ensaios Mat. {\bf 36} (2021) 53-274.

Speaker : Bernadette FAYE (Université Alioune Diop de Bambey,Senegal),Florian LUCA (Stellenbosch University,South Africa)

Proposé par Bernadette Faye et Florian Luca. The study of linear forms in logarithms is a fundamental area of Diophantine approximation, pioneered by Alan Baker in the $1960s$, which establishes effective lower bounds for expressions of the form $$\Lambda:=\vert b_1\log \alpha_1+ b_2\log \alpha_2+ \cdots + b_t\log \alpha_t\vert$$ where the $\alpha_i$ and $b_i$ are algebraic numbers. Baker's groundbreaking work provided a quantitative refinement of the Gelfond-Schneider theorem and has become a crucial tool for solving various Diophantine equations and other number theory problem. For a general overview of the method and a historical survey, we refer the participants to the article of R. Tijdeman \cite{Tij2019}.\\ In this project, we aim to study the theory of linear forms in logs, understand the different bounds that are used either in two logarithms, three logarithms or more. We will also study how to use the $p-$adic versions of theses results. Applications of the Baker's bound: Our application of the Baker's method will be to completely solve the following nonlinear diophantine equation involving powers of three consecutive powers of the generalized Pell sequence $(P_n^k).$ More precisely, we aim to solve the equation: \begin{equation}\label{NonLin} \left(P^{(k)}_{n+1}\right)^x +\left(P^{(k)}_{n}\right)^x - \left(P^{(k)}_{n-1}\right)^x=P_m^{(k)} \end{equation} in nonnegative integers $n, m, k, x, $ with $k\geq 2.$ A similar problem has been recently completely solved by Batte and Luca in \cite{BL24} for the Generalized Lucas numbers. Thus, our project will be a continuation of this line of research. \bibitem{BL24} H. Batte and F. Luca, On a nonlinear Diophantine equation with powers of three consecutive $k$-Lucas Numbers, (2004), arXiv: 2412.12130. \bibitem{ST86} T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics, 87. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. \bibitem{SMA} N.~P.~Smart, {\em The algorithmic resolution of Diophantine equations: a computational cookbook} Cambridge University Press, 1998. \bibitem{Tij2019} R.~ Tijdeman, Linear forms in logarithms and exponential Diophantine equations, {\em Hardy-Ramanujan Journal} {\bf 42} (2019), 31--37.